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Teoremas para el final de Análisis II (c)

Este es un compilado de los 19 teoremas en general tomados en los finales de Análisis II (c), basado en las dos listas de teoremas que circulan por ahí. Intento que sea lo más comprensible y completo posible, pero no puedo hacerme responsable si algún teorema no presente acá es tomado en un final. No debiera pasar, pero quién sabe. Desde ya, espero que a quien esté leyendo esto le sirva de algo. Si llegase a encontrar un error, favor de contactarse conmigo por alguno de los medios explicitados en el home de este sitio. La mayoría de las demostraciones aquí presentes fueron tomadas del Cálculo de Larotonda o de apuntes tomados en clase.

Todas las demostraciones transcritas fueron escritas con Gallemathic. También me ayudó un montón a mí a la hora de estudiar estos teoremas.

Esta página también está disponible para descargar en PDF: Teoremas del final de Análisis II (c).pdf.

El presente sitio se encuentra constantemente en desarrollo, es posible que algunos teoremas tengan detalles de estilo de los cuales otros carezcan. A su debido tiempo iré mejorando todo para que la lectura y comprensión de los temas sea más amena.

Novedades

Sé que prometí que iba a ir pasando todos los teoremas al nuevo formato, y la mayoría ya los pasé, pero estoy bastante ocupado con otras materias y no tuve tiempo de mejorarlos todos, como por ejemplo el 13, que todavía sigue en el formato viejo (más allá de tener un par de flechitas amarillas). Cuando la facultad me deje en paz un rato y pueda dedicarme a esto voy a terminar de poner todo lindo. (30/10/17)

Prometo que lo voy a hacer eventualmente. (14/04/18)

Lo juro. (11/05/18)

Índice

Teorema 1

Sean:
  • f: A ⊆ ℝⁿ → ℝᵐ
  • P ∈ A⁰
Entonces vale que:
  • (f es continua en P)(∀ suceción Tn (n ∈ ℕ) de puntos de A tal que Tn → P, se cumple que f(Tn) → f(P))

Demostración:

(12)

(21)

Como 1221, entonces 12, que es lo que queríamos probar. □

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Teorema 2

Teorema de Bolzano

Sean:

Entonces:
  • Existe un punto c ∈ A ⁄ f(c) = 0

Demostración:

(Aprovecho para agredecer a Tony Luciana y a Fernando Martin por señalar y corregir errores presentes en esta demostración)

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Teorema 3

Teorema de Bolzano en ℝⁿ

Sean:

  • A ⊆ ℝⁿ arcoconexo
  • f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ
  • f continua en A

Entonces:

  • Si existen P, Q ∈ A ⁄ f(P)f(Q) < 0, entonces existe R ∈ A ⁄ f(R) = 0

Demostración:

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Teorema 4

Teorema de Weierstrass

Sean:

  • A ⊆ ℝⁿ compacto
  • f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ
  • f continua en A

Entonces:

  • Existen m y M ∈ ℝ tales que m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ A.
  • Existen Pm y PM ∈ A tales que f alcanza su mínimo y máximo respectivos en A en dichos puntos.

Demostración:

(Existencia de m y M)

(Pm y PM)

Dicho todo esto queda demostrado el teorema. □

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Teorema 5

Diferenciable ⇒ Continua

Sean:

  • f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ
  • P ∈ A⁰
  • f diferenciable en P

Entonces:

  • f es continua en P

Demostración:

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Teorema 6

Sobre la existencia de las derivadas direccionales y la unicidad del diferencial

Sean:

  • f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ
  • Sea p ∈ A⁰
  • Tp transformación lineal tal que lim x → p (‖f(x) − f(p) − Tp(x − p)‖ ⁄ ‖x − p‖) = 0

Entonces:

  • La fórmula de las derivadas direccionales de f en p es Tp(v), con v un versor de Rⁿ.
  • Existen todas las derivadas direccionales de f en p.
  • f es diferenciable en p.
  • Tp(X) = Dfp(X) = <∇f(p), X> para todo X ∈ ℝⁿ.
  • La transformación lineal Tp es única.

Demostración:

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Teorema 7

∇f(p) es la dirección de máximo crecimiento de f en p

Sea:

  • f una función diferenciable en p.

Entonces:

  • La dirección de máximo crecimiento de f en p viene dada por ∇f(p).

Demostración:

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Teorema 8

Elite Four de teoremas en una variable: Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy

Teorema de Fermat

Sea:
  • f derivable en (a, b)
  • p ∈ (a, b) un extremo local de f

Entonces:

  • ∇f(p) = 0.

Demostración:


Teorema de Rolle

Sea:
  • f continua en [a, b]
  • f derivable en (a, b)

Entonces:

  • Si f(a) = f(b), existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.

Demostración:


Teorema de Lagrange

Sea:
  • f continua en [a, b]
  • f derivable en (a,b)

Entonces:

  • Existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = (f(b) − f(a)) ⁄ (b − a)

Demostración:


Teorema de Cauchy

Sea:
  • f continua en [a, b]
  • f derivable en (a, b)

Entonces:

Demostración:

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Teorema 9

C¹ ⇒ Diferenciable

(Abrir en grande en una pestaña nueva)

(Cortesía de Ezequiel Togno)

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Teorema 10

Teorema del Hessiano

Primero, un poco de introducción:

Ahora sí, el teorema.

Sean:

Entonces:

  • Si el Hessiano de f en P, Hf(P), es definido negativo, P es un máximo estricto de f.
  • Si Hf(P) es definido positivo, P es un mínimo estricto de f.
  • Si Hf(P) es indefinido, entonces P es un punto silla de f.

Unas cosas más antes de seguir:

Demostración:

(Casos de Hessiano definido)

(Caso de Hessiano indefinido)

Dicho todo esto, se demuestra el teorema. □

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Teorema 11

Teorema de los multiplicadores de Lagrange

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Teorema 12

Continua ⇒ Integrable

(Nota: en el primer renglón, donde dice entonces es derivable en [a, b], debería decir entonces es integrable en [a, b])

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Teorema 13

Teorema fundamental del cálculo integral

Nota: de acá en adelante, debido a las limitaciones de Gallemathic y html, voy a notar las integrales definidas de a hasta b de f(t)dt como ∫[a,b]f(t)dt.

Sea f:[a,b]→ℝ una función continua. Dado x∈[a,b] sea F:[a,b]→ℝ tal que F(x)=∫[a,x]f=∫[a,x]f(t)dt. Entonces F es continua en [a,b], derivable en (a,b) y ∀x∈[a,b] vale que F'(x)=f(x).

Veamos esto. Sea s el máximo valor que toma |f(t)| con t∈[a,b], que como f es una función continua es un número finito. Vamos a probar que F es una función continua.

Como lim x→xo (F(x)−F(xo))/(x−xo)=f(xo), se prueba que F es continua en el interior, derivable en todo el interior (y por tanto, efectivamente derivable) y F'=f, que es lo que queríamos probar □

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Teorema 14

Regla de Barrow

Sea:

  • [a, b] cerrado
  • f continua en [a, b]

Entonces:

  • Si F es una primitiva de f, se tiene que ∫[a, b]f = F(b) − F(a).

Demostración:

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Teorema 15

Teorema del valor medio integral

Sea:

  • f: [a, b] → ℝ una función continua.

Entonces:

  • ∃ c ∈ (a, b) ⁄ ∫[a, b]f = f(c)(b − a).

Demostración:

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Teorema 16

Dado P en una curva de nivel de F(x, y) de clase C¹ tal que ∇F(P)≠0, entonces ∇F(P) es perpendicular a la recta tangente a la curva en P.

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(Cortesía de Ezequiel Togno)

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Teorema 17

Este es el de las derivadas cruzadas coinciden. Dado que no se toma nunca y su demostración es medio complicada, no voy a subirlo. Si se quiere ver por cuenta propia, está en la página 109 del Cálculo de Larotonda.

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Teorema 18

Teorema de Lagrange en ℝⁿ

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Teorema 19

Teorema de Fermat en ℝⁿ

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Martín del Río, 2017 - 2018. Volver al inicio